第一次数学危机心得体会

数学危机的第一次数学危机

第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。

这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。

当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。

该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。

希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。

它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。

使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。

最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。

两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。

正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。

很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。

我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的 ， 都无法用 来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。

但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。

第二次数学危机发生在十七世纪。

十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。

其实我翻了一下有关数学史的资料，微积分的雏形早在古希腊时期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到2100年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。

微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零

如果是零，怎么能用它做除数

如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢

直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。

柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。

无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了 极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。

而我自己的理解是一个无穷小量，是不是零要看它是运动的还是静止的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如说1\\\/n，我们说 ，但n个1\\\/n相乘就为1，这就不是无穷小量了，当我们遇到 等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限，也可以用Taylor展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小。

第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。

我从很早以前就读过“理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。

那么理发师该不该给自己理发呢

还有大家熟悉的“说谎者悖论”，其大体内容是：一个克里特人说：“所有克里特人说的每一句话都是谎话。

”试问这句话是真还是假?从数学上来说，这就是罗素悖论的一个具体例子。

罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。

事实虽是这样但原因却又是什么呢

这是由于R是集合，若R含有自身作为元素，就有R R，那么从集合的角度就有R R。

一个集合真包含它自己，这样的集合显然是不存在的。

因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，这显然是不可能的。

因此，任何集合都必须遵循R R的基本原则， 否则就是不合法的集合。

这样看来，罗素悖论中所定义的一切R R的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这类事物。

归根结底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。

因此可以明确了，实质上，罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。

从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组 公理之上，以回避悖论。

首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统（即所谓ZF公理系统），这场数学危机到此缓和下来。

现在，我们通过离散数学的学习，知道集合论主要分为Cantor集合论和Axiomatic集合论，集合是先定义了全集I，空集 ，在经过一系列一元和二元运算而得来得。

而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论，使现代数学得以发展。

简述三次数学危机的内容及解决情况

第一次数学危机是无理数的诞生，发现根号2不能写成两个整数相除，最终无理数被纳入了实数范围第二次数学危机源于微积分工具的使用，由于定义不严格，无穷小量这些概念引起争论，最终建立了实数理论，极限理论，使得数学分析有了严格基础第三次数学危机关于集合论，即著名的罗素悖论，集合的定义收到了攻击。

最终通过不同的公理化系统解决，使数理逻辑等学科得到发展希望对你有帮助

数学选修3-1《数学史选讲》 学习心得 600字

第一、数学史可以帮助我们了解先遇到了怎样的问题，他们是怎样解决的，他们解决这些问题是怎样想到的，就为我们开拓了思路，提供了办法。

第二、从数学史的角度来看，中国近代数学落后的原因在于数学思想方法的落后，没能跟上数学发展的最前沿。

方已把极限、无穷小等概念烂熟之时，我们还只沉醉在一些算术的小技巧上。

第三、每一次的数学危机都是一次数学的革命，为我们带来了新的数学思想、方法。

根本性的改变了我们对数学、以及对整个世看法。

与其他知识部门相比，数学是门历史性或者说累积性很强的科学。

重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原理论。

人们也常常把现代数学比喻成一株茂密的大树，它包含着并且正在继续生长出越来越多的分支。

数学史不仅是单纯的数学成就的编年记录。

数学的发展决不是一帆风顺的，在更多的情况充满忧郁、徘徊，要经历艰难曲折，甚至会面临危机。

数学史也是数学家们克服困难和战胜危机的斗争记录。

对这种记录的了解可使我们从前人的探索与奋斗中汲取教益，获得鼓舞和增强信心。

因此，可以说不了解数学史就能全面了解数学科学。